初窥JVM浮点运算
欢迎来到“Under The Hood”第四期。上期我们讨论了 JVM 的字节码指令集，本期我们继续这个话题。本文我们来看看 JVM 中的浮点运算。
JVM 支持 IEEE-754 浮点数标准（1985）。该标准定义了 32 位和 64 位浮点数的格式，以及在此之上的各种运算。在 JVM 中，浮点运算是基于 32 位 float 数和 64 位 double 数的。对每个操作 float 数的字节码，都有一个对应的 double 数的版本。
浮点数由 4 部分组成：数符（sign），尾数（mantissa），基数（radix）和阶码（exponent）。数符取 1 或 -1。尾数是一个正数，它持有浮点数的有效位。阶码是尾数和符号位应该乘以的基数的正（负）幂数。这 4 个部分用下面的公式得到浮点数的值：
浮点数有很多种表现形式，因为你总是可以把浮点数的尾数乘以基数的某次幂，然后通过改变阶码的方式获得原先的值。例如，-5 可以写成如下以 10 为基数的形式：
| Sign | Mantissa | Radix | Exponent |
|---|---|---|---|
| -1 | 50 | 10 | -1 |
| -1 | 5 | 10 | 0 |
| -1 | 0.5 | 10 | 1 |
| -1 | 0.05 | 10 | 2 |
每个浮点数都有一个规范化的表示形式。如果浮点数的尾数符合下面的公式，我们就说这个浮点数是规范化的。
规范化的以 10 为基数的浮点数，尾数的小数点出现在第一个非0的有效位前面。-5 的规范化形式是。也就是说，规范化的浮点数中，小数点的左边是0，右边第一位不是0。其他不是这种形式的浮点数都是非规范化数。注意，0没有规范化的形式，因为它没有非0数放在小数点后面。数字0们总是感叹“为什么要规范化我们呢？”。
JVM中的浮点数以2为基数，所以JVM中的浮点数值用下面的公式获得：
JVM中的浮点数的尾数用2进制数表示。规范化的二进制数小数点出现在非0最高有效位前面。由于二进制数系统只有2个数字，1和0，所以最高有效位上的数字总是1。
float和double数的最高有效位是它的符号位，float的最后23位是尾数位，而double则为最后52位。阶码处在符号位和尾数中间，float为8位，double为11位。float的完整2进制形式如下，s表示符号位，e表示阶码，m表示尾数。
1
s eeeeeeee mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm
正数的符号位为0，负数的符号位为1。尾数总是一个正的二进制数，但不是二进制补码数。如果符号位为1，浮点数的值是负的，但尾数仍然是正的。
阶码有3种解释方式。如果阶码位全是1，意味着这是一个特殊的浮点数，表示正无穷或负无穷，或者不是一个数（NaN）。NaN是特定运算的结果，比如除法的除数是0。阶码的所有位为0，表示这是一个非规范化的浮点数。除上面2种情况之外的阶码，都是规范化浮点数的一部分。
尾数部分其实隐式包含了一个额外的精度位。float数的尾数占23位，却有24个精度位；同一样的，double数的尾数占52位，却有53个精度位。因为尾数部分的最高有效位是可以被预测的，所以并没有包含在尾数中。JVM中，浮点数的阶码可以指明该数是不是一个规范化浮点数。如果阶码位全0，则为非规范化数，且最高有效位肯定是0。其他情况下，则为规范化浮点数，且最高有效位肯定是1。
在JVM中，任何浮点运算都不会抛出异常。类似除数为0的问题操作，JVM会返回一些特殊值，比如正/负无穷，或NaN。尾数位全是0的情况下，如果阶码位全是1，符号位是0，则表示正无穷；如果阶码位全是1，符号位是1，则表示负无穷。如果阶码位全是1，尾数位不全是0，则表示NaN。JVM总是为NaN使用相同的尾数：最高有效位是1，其他全为0。下表列出了上面提到的3中特殊值：
| Special float values | Float bits (sign exponent mantissa) |
|---|---|
| +Infinity | 0 11111111 00000000000000000000000 |
| -Infinity | 1 11111111 00000000000000000000000 |
| NaN | 1 11111111 10000000000000000000000 |
非全0和非全1的阶码表示规范化尾数要乘以的2的幂数。可以把阶码当做一个正数，然后减去一个偏移量，这样就能得到实际的幂数。对float数来说，偏移量是126；而double数，则为1023。例如，一个float数的阶码为00000001，则幂数为-125（1 – 126），这是float中最小的幂数。再看一个例子，如果阶码是11111110，则幂数为128（254 – 126），这是float中最大的幂数。下表列出了一些正规化的浮点数：
| Normalized float values | Float bits (sign exponent mantissa) | Unbiased exponent |
|---|---|---|
| Largest positive (finite) float | 0 11111110 11111111111111111111111 | 128 |
| Largest negative (finite) float | 1 11111110 11111111111111111111111 | 128 |
| Smallest normalized float | 1 00000001 00000000000000000000000 | -125 |
| Pi | 0 10000000 10010010000111111011011 | 2 |
阶码位全0，说明尾数没有规范化，也隐含说明了最高有效为是0，而不是1。这种情况下，幂数为浮点数的最小幂数。对float来说，是-125。这意味着，规范化尾数乘以2 -125的浮点数，它的阶码为00000001，而非规范化尾数乘以2 -125的浮点数，它的阶码为00000000。阶码范围底端的非规范化数修正值，使得下溢出较为平缓。如果最小阶码用来表示规范化数，下溢成0的最小数值会更大一些。 换句话说，让最小阶码表示非规范化数，可以使浮点数能表示更小的数值。虽然非规范化数的精度没有规范化数高，但是，这相对于阶码一旦达到最小规范化数值，浮点数就会下溢成0来说，非规范化数更好一些。
| Denormalized float values | Float bits (sign exponent mantissa) |
|---|---|
| Smallest positive (non-zero) float | 0 00000000 00000000000000000000001 |
| Smallest negative (non-zero) float | 1 00000000 00000000000000000000001 |
| Largest denormalized float | 1 00000000 11111111111111111111111 |
| Positive zero | 0 00000000 00000000000000000000000 |
| Negative zero | 1 00000000 00000000000000000000000 |
